课上只是简单提了下几何专题，我也认为这个专题相较于别的几个没那么重要，所以只是记一下隐式表示和参数表示的相关内容，再简单提一句网格处理。
隐式表示和参数表示
对一个几何图形，我们一般有两种表示方法，一种是用普通方程 $f(x,y,z)=0$ 来表示，另一种是用参数方程 $g(u,v)=(x,y,z)$ 来表示。前者是隐式表示，因为不能方便地求出这个方程表示的所有点；后者是参数表示，通过参数 $(u,v)$ 的变化可以轻易求出这个方程表示的所有点。
不过隐式表示也有优点，它能很方便地判断一个点 $(x,y,z)$ 是否在曲线上 / 曲线内 / 曲线外。接下来我们看看隐式表示和参数表示的代表应用。
隐式表示：符号距离场
符号距离场（Signed Distance Filed, SDF）是隐式表示的代表应用之一，自 2007 年 Valve 的论文以来，它一直被用于游戏内的文本渲染。虽然现在用的更多是多通道符号距离场（MSDF），但我们这里只简单介绍下符号距离场，因为后者更加复杂。
符号距离场就是带符号的距离场，对给定的点 $(u,v)$，我们记录它到图形的最近距离——如果它在图形内部（图形的线条是有宽度的，这个内部指在线条内而非几何闭环内），距离为正值，否则为负值。
在 V 社的论文中，他们先对矢量文字做了光栅化得到了 $4096\times 4096$ 的图像，然后基于这张图得到了 $64\times 64$ 的符号距离场。
下图展示了原图和符号距离场。图像不透明度是在 $[0,1]$ 间的非负数，为了可视化符号距离场，我们把距离为正的内部映射到 $(0.5, 1]$，距离为 $0$ 的边缘被映射到 $0.5$，距离为负的外部映射到 $[0, 0.5)$.
得到了符号距离场之后，我们就能对任何一个点插值出它与图形的距离，然后根据这个距离决定它是否显示出来。我们之前已经提过了距离到不透明度的映射，我们可以简单设置一个阈值来决定是否显示某个像素：
baseColor.a = distAlphaMask >= 0.5;我个人的思考是，不要因为我们可视化了符号距离场就把它当作图像。它本质上是一个距离函数 $d(u,v)$，我们的 $64\times 64$ 的 SDF 图像的每个像素表示的不是“平均颜色”，而是“像素中心点到图形的距离”。要把它看作点，而非方块。
参数表示：贝塞尔曲线和曲面
贝塞尔曲线和曲面是参数表示的很好例子，我们先来看看计算贝塞尔曲线的常用算法和一般公式。
贝塞尔曲线
常用的生成贝塞尔曲线的 Casteljau Algorithm 如下，我们以四个点求三阶贝塞尔曲线为例：
def bezier(t: float):
# 第一层线性插值
p0_1 = (1 - t) * p0 + t * p1
p1_1 = (1 - t) * p1 + t * p2
p2_1 = (1 - t) * p2 + t * p3
# 第二层线性插值
p0_2 = (1 - t) * p0_1 + t * p1_1
p1_2 = (1 - t) * p1_1 + t * p2_1
# 第三层（最后一层）线性插值
p_final = (1 - t) * p0_2 + t * p1_2
return p_final看看这个算法也就知道贝塞尔曲线是怎么来的了。
三阶公式是
$$
\mathbf{B}(t) = (1-t)^3 \mathbf{P}_0 + 3(1-t)^2 t \mathbf{P}_1 + 3(1-t) t^2 \mathbf{P}_2 + t^3 \mathbf{P}_3
$$
一般的 $n$ 阶公式是
$$
\mathbf{B}(t) = \sum_{i=0}^{m} \binom{m}{i} (1-t)^{m-i} t^i \mathbf{P}_i
$$
下图中，左图是 Godot 里的 Curve，它就用到了贝塞尔曲线；右图贝塞尔曲线的生成方法，和上面提到的 Casteljau Algorithm 一致。
再看看左图，我们会发现它是由三个贝塞尔曲线拼接而成的，而且看起来很平滑，这就是所谓的“分段贝塞尔曲线”。高阶贝塞尔曲线不容易控制，所以我们更倾向于把几个低阶贝塞尔曲线拼接起来形成复杂曲线。
贝塞尔曲面
我们同样用 Casteljau Algorithm 生成贝塞尔曲面：
def _de_casteljau_1d(points, t):
"""对一维点序列执行 Casteljau 算法。"""
while len(points) > 1:
points = [(1 - t) * p1 + t * p2 for p1, p2 in zip(points, points[1:])]
return points[0]
def bezier_surface(control_points, u, v):
"""计算贝塞尔曲面上的一点。"""
intermediate_points = [_de_casteljau_1d(row, u) for row in control_points]
final_point = _de_casteljau_1d(intermediate_points, v)
return final_point如下图中的右图所示，我们本质上是先沿着一个轴向生成一组贝塞尔曲线，再在曲线上取值生成一组新的控制点，然后用这组新控制点定义一条新的曲线，最后在新的曲线上取值得到曲面上的最终点。
网格处理
生成三角形网格后，我们经常还希望做一些处理，比如细分来让模型更光滑；减少三角形数量来简化网格。下面简单提一下网格细分和网格简化的常用算法。
网格细分
网格细分算法的绝对主流是 Catmull-Clark 细分，Blender 的表面细分修改器的默认算法就是这个。它可以细分任意形状的多边形，但在细分四边形时效果最好。
课上还提到了用于细分三角形的 Loop 细分，不过两个细分都只是简单提了提概念，我们这里不多记笔记。
网格简化
网格简化的基本思路是每次把一条边坍缩成一个点。我们用二次误差衡量每条边坍缩后引入的误差，然后选择最小的边来坍缩，之后重新计算二次误差（因为坍缩后形状会改变），然后再次选择最小的边，如此重复。这是个贪婪算法，但能拿到不错的结果。
具体公式我们也不写，因为课上没详细讲，我也不感兴趣，用到的时候去查查就好了。